Question

设命题p：函数f（x）=x²-2ax-1在区间[-1，1]内不单调；命题q：当x∈（0，+∞）时，不等式x²-ax+1＞0恒成立．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．

解答：解：∵命题p：函数f（x）=x²-2ax-1在区间[-1，1]内不单调
∴当p为真，a的取值范围：对称轴x=a∈（-1，1）
∴-1＜a＜1
又∵命题q：当x∈（0，+∞）时，不等式x²-ax+1＞0恒成立．
∴当q为真，a＜

x2+1

x

=x+

1

x

，x∈（0，+∞）恒成立，
即a＜2
∵如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题
∴∴p、q一真一假
①p真q假，那么a的取值范围：φ
②p假q真，那么a的取值范围：a≤-1或1≤a＜2
故a≤-1或1≤a＜2

点评：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，属于基础题目