Question

设命题P：函数f（x）═x+

a

x

（a＞0）在区间（1，2）上单调递增；命题Q：不等式|x-1|-|x+2|＜4a对任意x∈R都成立．若“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：求出f（x）的导数，令导数大于等于0在（1，2）上恒成立，求出a的范围，即命题p为真命题时a的范围；通过绝对值的集合意义求出|x-1|-|x+2|的最小值，令最小值小于0，求出a的范围，即命题q为真命题时a的范围；有复合命题的真假判断出p，q的真假情况，求出a的范围．

解答：解：∵f（x）=x+

a

x

，
∴f′(x)=

x2-a

x2

，
∵f（x）在（1，2）上单调递增，
∴f′(x)=

x2-a

x2

≥0在（1，2）恒成立．
∴a≤1
即若p真则a≤1．
∵不等式|x-1|-|x+2|＜4a对任意x∈R都成立，
所以|x-1|-|x+2|的最大值小于4a即可．
所以3＜4a，
所以a＞

3

4

即若q真则有a＞

3

4

∵“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，
∴p，q中有一个真一个假，
所以当p真q假有

a≤1 a≤ 3 4

即0＜a≤

3

4

；当p假q真有

a＞1 a＞ 3 4

即a＞1
故答案为：(0，

3

4

]∪(1，+∞)．

点评：在已知函数单调求参数范围时，采用的方法是求出导函数，令导函数大于等于0（小于等于0）恒成立、解决复合函数的真假问题常转化为构成其简单命题的真假问题解．