Question

4．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{x-2y-2≤0}\\{2x-y+2≥0}\end{array}\right.$，若对于满足约束条件的所有x，y，总有不等式y≤k（x+3）成立，则实数k的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． -2
• D． 0

Answer 1

分析 由题意作平面区域，从而化不等式为k≥$\frac{y}{x+3}$，而$\frac{y}{x+3}$的几何意义是点A（-3，0）与点（x，y）的连线的斜率，从而结合图象解得．

解答 解：由题意作平面区域如下，
，
结合图象可知，x≥-2，故x+3≥1，
故y≤k（x+3）可化为k≥$\frac{y}{x+3}$，
$\frac{y}{x+3}$的几何意义是点A（-3，0）与点（x，y）的连线的斜率，
故当过点B（-2，-2）时，$\frac{y}{x+3}$有最小值$\frac{-2}{-2+3}$=-2，
当过点（0，2）时，$\frac{y}{x+3}$有最大值$\frac{2-0}{0+3}$=$\frac{2}{3}$，
∵对于满足约束条件的所有x，y，总有不等式y≤k（x+3）成立，
∴实数k的最小值为$\frac{2}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及线性规划的应用，同时考查了恒成立问题．