Question

用1，2，3，4，5，6这六个数字组成的四位数中，试回答下面问题
（1）一共有多少个没重复数字的四位数？
（2）若把（1）中这些没重复数字按从小到大的顺序排成一列，则3241是第几个数？
（3）（2）中的第100个数字是多少？

Answer 1

分析：（1）用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的四位数，也就是从6个数字中取出4个数字的所有排列的个数；
（2）根据题意，先考虑1，2开头的数字有120个，再考虑31开头的数字有12个，进而考虑32开头的数字只有3214，3215，3216比3241小，从而可得答案；
（3）由于1，2开头的数字有120个，1开头的数字有60个，于是第100个数字一定是2开头的数字．21，23，24开头的数字各有P₄²=12个，总计36个，于是2513是第60+36+1=97个数，第98、99个数依次是2514，2516．故可知第100个数字是2531．

解答：解：（1）用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的四位数，也就是从6个数字中取出4个数字的所有排列的个数，故有P₆⁴=360；…（2分）
（2）1，2开头的数字有2P₅³=120，31开头的数字有P₄²=12个，32开头的数字只有3214，3215，3216比3241小，
于是3241是第120+12+3+1=136个数．…（4分）
（3）由于1，2开头的数字有120个，1开头的数字有60个，于是第100个数字一定是2开头的数字．
21，23，24开头的数字各有P₄²=12个，总计36个，
于是2513是第60+36+1=97个数，第98、99个数依次是2514，2516．所以第100个数字是2531．…（4分）

点评：本题的考点是排列、组合及简单计数问题，主要考查排列的定义，考查排列数的计算，属于中档题．