题目内容

11.如图,在△ABC中,已知AB=AC=$\sqrt{6}$,AD=DC,$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{AE}$,若$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}$=-$\frac{1}{2}$,则$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CE}$等于$-\frac{11}{12}$.

分析 将$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA})$带入$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}$即可得到$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AC}=-1$,而由$\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AE}$可得到$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$,从而可以得到$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CE}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AB}$.而根据条件$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}$即可求出$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{5}$,从而可以求出cos∠ABC,根据数量积的计算公式即可求出$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AB}$,从而求出$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CE}$.

解答 解:$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA})•\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}$;
∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AC}=-1$;
∵$\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AE}$;
∴$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$;
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA})•(\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB})$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CA}$$-\frac{1}{6}{\overrightarrow{BA}}^{2}$
=$-\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AC})+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AB}$-1=$-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AB}$;
由$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA})•(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA})=-\frac{1}{2}$得:
${\overrightarrow{BC}}^{2}-{\overrightarrow{BA}}^{2}=-1$;
∴${\overrightarrow{BC}}^{2}=5$;
∴$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{5}$;
∴$cos∠ABC=\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{30}}{12}$;
∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{AB}|cos<\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AB}>$=$\sqrt{5}•\sqrt{6}•(-\frac{\sqrt{30}}{12})=-\frac{5}{2}$;
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CE}=-\frac{1}{2}-\frac{5}{12}=-\frac{11}{12}$.
故答案为:$-\frac{11}{12}$.

点评 考查向量加法的平行四边形法则,向量减法的几何意义,数量积的运算,余弦函数的定义,以及向量数量积的计算公式.

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