Question

【题目】如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD= ，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（Ⅰ）证明PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，

由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB．

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．

（Ⅱ）解：作EG∥PA交AD于G，

由PA⊥平面ABCD．

知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连接EH，

则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角．

又PE：ED=2：1，所以 ．

从而 ，θ=30°．

（Ⅲ）解法一以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图．

由题设条件，相关各点的坐标分别为 . ．

所以 ． ． ．

设点F是棱PC上的点， ，其中0＜λ＜1，

则 = ．

令 得 即

解得 ．即 时， ．

亦即，F是PC的中点时， 、 、 共面．

又BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC．

解法二：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下，

证法一：取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE．①

由 ，知E是MD的中点．

连接BM、BD，设BD∩AC=O，则O为BD的中点．

所以BM∥OE．②

由①、②知，平面BFM∥平面AEC．

又BF平面BFM，所以BF∥平面AEC．

证法二：

因为 = = ．

所以 、 、 共面．

又BF平面ABC，从而BF∥平面AEC．

【解析】（I）证明PA⊥AB，PA⊥AD，AB、AD是平面ABCD内的两条相交直线，即可证明PA⊥平面ABCD；（II）求以AC为棱，作EG∥PA交AD于G，作GH⊥AC于H，连接EH，说明∠EHG即为二面角θ的平面角，解三角形求EAC与DAC为面的二面角θ的大小；（Ⅲ）证法一F是棱PC的中点，连接BM、BD，设BD∩AC=O，利用平面BFM∥平面AEC，证明使BF∥平面AEC．

证法二建立空间直角坐标系，求出 、 、 共面，BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC．还可以通过向量表示，和转化得到 、 、 是共面向量，BF平面ABC，从而BF∥平面AEC．