题目内容

已知椭圆的左右焦点分别是,离心率为椭圆上任一点,且的最大面积为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设斜率为的直线交椭圆两点,且以为直径的圆恒过原点,若实数满足条件,求的最大值.

(Ⅰ)椭圆的方程;(Ⅱ)的最大值为.

解析试题分析:(Ⅰ)依题意得:,这是一个关于的方程组,解这个方程组便可得的值,从而得椭圆的方程.
(Ⅱ)设,由于以为直径的圆恒过原点,所以,即……………………………………………………①
设直线的方程,联立方程组,再由根与系数的关系可得:,代入①便得一个含的等式.
变形化简得:.
因此,要求的最大值,只需求的最大值,而可以用含的式子表示出来,再利用前面含的等式换掉一个变量,得一个只含一个变量的式子,再利用求函数最值的方法,便可求出其最大值.
试题解析:(Ⅰ)依题意得:,解得:
于是:椭圆的方程
(Ⅱ)设直线的方程得:
,则.
由于以为直径的圆恒过原点,于是,即

于是:,即
依题意有:,即.
化简得:.
因此,要求的最大值,只需求的最大值,下面开始求的最大值:
.
到直线的距离,于是:.
又因为,所以
代入得.

于是:.
,即时,取最大值,且最大值为.
于是:的最大值为.
考点:1、椭圆的方程;2、直线与圆锥曲线;3、函数的最值.

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