题目内容
如图，在平面直角坐标系
中，
、
分别是椭圆
的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于
、
两点，其中在第一象限．过作
轴的垂线，垂足为
．连接
，并延长交椭圆于点
．设直线
的斜率为
．
（Ⅰ）当直线平分线段
时，求的值；
（Ⅱ）当
时，求点到直线
的距离；
（Ⅲ）对任意
，求证：
．
（Ⅰ）
;（Ⅱ）
;（Ⅲ）详见解析
解析试题分析：（Ⅰ）求出点、的中点坐标，再用斜率公式可求得的值；（Ⅱ）求出直线的方程，再用点到直线的距离公式可求得点到直线的距离；
（Ⅲ）思路一:圆锥曲线题型的一个基本处理方法是设而不求,其核心是利用
----(*).要证明,只需证明它们的斜率之积为-1. 但直接求它们的积,不好用(*)式,此时需要考虑转化.
思路二:设
,然后用
表示出
的坐标.这种方法要注意直线的方程应设为: 
,若用点斜式,则运算量大为增加.
此类题极易在运算上出错,需倍加小心.
试题解析：（Ⅰ）由题设知: 
,所以线段的中点为
,
由于直线平分线段,故直线过线段的中点,又直线过坐标原点,
所以
（Ⅱ）将直线的方程
代入椭圆方程得: 
,因此
于是
,由此得直线的方程为: 
所以点到直线即的距离
（Ⅲ）法一:设
,则
由题意得: 
设直线
的斜率分别为
,因为在直线上,所以
从而
,所以:
法二: 
所以直线的方程为: 代入椭圆方程
得:
由韦达定理得:
所以
,
所以
考点：本题考查椭圆的方程、直线的方程，中点坐标公式，点到直线的距离，两直线垂直的判定；考查韦达定理.
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的左右焦点分别是
，离心率
，
为椭圆上任一点，且
的最大面积为
.
的方程；
的直线
交椭圆
两点，且以
为直径的圆恒过原点
，若实数
满足条件
，求
的焦点为F
过点
的直线交抛物线于A
，B
两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N 
的值；
，直线AB的斜率为
证明：
为定值 
轴上，焦距为
，且经过点
，直线
交椭圆于不同的两点A，B.
的取值范围；，
不经过点
，求证：直线
的斜率互为相反数.
（
）右顶点与右焦点的距离为
，短轴长为
.
的直线与椭圆分别交于
、
两点，若三角形
的面积为
，求直线
的方程．
，两个焦点为
．
是椭圆C上的两个动点，如果直线
的斜率与
的斜率互为相反数，证明直线
的斜率为定值，并求出这个定值．
经过点
离心率
，直线
的方程为
.
的方程；
是经过右焦点
的任一弦(不经过点
)，设直线
，记
的斜率分别为
问:是否存在常数
，使得
若存在求
的长轴两端点分别为
，
是椭圆上的动点，以
为一边在
轴下方作矩形
，使
，
交
，
交
．
，且
为椭圆上顶点时，
的面积为12，点
到直线
，求椭圆的方程；
，试证明：
成等比数列．
中，曲线
的参数方程为：
（
为参数），在极坐标系（与直角坐标系
为极点，以
轴正半轴为极轴）中,直线
的极坐标方程为：
．
是曲线