题目内容
已知椭圆的一个顶点为,焦点在
轴上,若右焦点到直线
的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点
、
,当
时,求
的取值范围.
(1);(2)
.
解析试题分析:本题考查椭圆的标准方程和几何性质、交点问题、直线的斜率、韦达定理等基础知识,考查数形结合思想,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问,根据条件,设椭圆的方程,写出
,得焦点
,代入点到直线的距离公式,得
,得到椭圆的方程;第二问,直线方程与曲线方程联立,消
,得关于
的一元二次方程,据条件有两个不同实根,所以
,解得
,利用韦达定理,求得
得
中点
的横纵坐标,求
,由
,得
,整理得
,最后解方程组得
.
试题解析:(1)依题意可设椭圆方程为, .2分
则右焦点的坐标为
, .3分
由题意得,解得
,
故所求椭圆的标准方程为. .5分
(2)设、
、
,其中
为弦
的中点,
由,得
.7分
因为直线与椭圆相交于不同的两点,所以
即 ①, .8分
,所以
,
从而 , .9分
所以, .10分
又,所以
,
因而,即
②, .11分
把②式代入①式得,解得
, .12分
由②式得,解得
, .13分
综上所述,求得的取值范围为
. .14分
考点:1.点到直线的距离公式;2.椭圆的标准方程;3.椭圆的性质;4.韦达定理;5.线线垂直的充要条件.

练习册系列答案
相关题目