题目内容
已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求的取值范围;
(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.
(1);(2);(3)证明过程详见解析.
解析试题分析:本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质以及数形结合的数学思想方法,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问,利用离心率及解出和得到椭圆的标准方程;第二问,先设出直线的方程,因为直线与椭圆相交,消参得关于的方程,因为相交于2个交点,所以得到的取值范围,设出点坐标,则求出两根之和、两根之积及,所以,将上述的条件代入,得到的表达式,求最值;第三问,先通过对称,得到点的坐标,列出直线的方程,令,得的值正好得1,所以得证.
试题解析:(1)解:由题意知,∴,即,
又,∴,
故椭圆的方程为 . 2分
(2)解:由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为,
由得:, 4分
由得:,
设A(x1,y1),B (x2,y2),则 ①
∴,
∴
∵,∴,∴,
∴的取值范围是.
(3)∵两点关于轴对称,∴,
直线的方程为,令得:
又,,∴,
由将①代入得:,∴直线与轴交于定点.
考点:1.椭圆的标准方程;2.椭圆的离心率;3.直线与椭圆的位置关系;4.两根之和、两根之积.
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