Question

设双曲线以椭圆的两个焦点为焦点,且双曲线的一条渐近线是，
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于不同两点,且都在以为圆心的圆上,求实数的取值范围.

Answer 1

(1)；（2）

解析试题分析：（1）双曲线和椭圆共焦点，故可设其方程为，且，，联立解；（2）直线和圆锥曲线的位置关系问题，一般根据已知条件结合韦达定理列方程来确定参数的值或取值范围，因为在以为圆心的圆上，根据垂径定理，连接圆心和弦的中点的直线必垂直于，∴将直线和双曲线联立，得关于的一元二次方程且，得关于的不等式，利用韦达定理确定弦的中点坐标，利用列式，得关于的方程，与不等式联立消去，得关于的不等式，解之可得.
试题解析：(1)依题双曲线的两个焦点分别为、，，又双曲线的一条渐近线是，，双曲线的方程为：；
(2)设,,
由，消去整理得：，依题意得 (*)，设的中点为，则，
又点在直线上，,,两点都在以为圆心的同一圆上,,即，，整理得，代人(*)式得：解得：或，
又,,故所求的取值范围是.
考点：1、椭圆和双曲线的标准方程及简单几何性质；2、垂径定理；3、韦达定理.