Question

若不等式x²＋2xy≤a(x²＋y²)对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为________．

Answer 1

方法一：令y＝tx，则t>0，代入不等式得x²＋2tx²≤a(x²＋t²x²)，消掉x²得1＋2t≤a(1＋t²)，即at²－2t＋a－1≥0对t>0恒成立，显然a>0，故只要Δ＝4－4a(a－1)≤0，即a²－a－1≥0，考虑到a>0，得a≥.
方法二：令y＝tx，则a≥，令m＝1＋2t>1，则t＝，
则a≥＝≤＝，
故a≥.