题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的离心率为 $数学公式$ ．
（1）若圆（x-2）²+（y-1）²= $数学公式$ 与椭圆相交于A、B两点且线段AB恰为圆的直径，求椭圆的方程；
（2）设L为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M、N两点，且L的倾斜角为60°．求 $数学公式$ 的值．
（3）在（1）的条件下，椭圆W的左右焦点分别为F₁、F₂，点R在直线l：x- $数学公式$ y+8=0上．当∠F₁RF₂取最大值时，求 $数学公式$ 的值．

解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的方程为y-1=k（x-2）即y=kx+1-2k①
∵离心率e= $\text{[math]}$ ，∴椭圆方程可化为 $\text{[math]}$ ②
将①代入②得（1+2k²）x²+4（1-2k）•kx+2（1-2k）²-2b²=0
∵x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，∴k=-1
∴x₁x₂= $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ ，∴b²=8
∴椭圆方程为 $\text{[math]}$
（2）设|MF|=m，|NF|=n，则由第二定义知 $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
（3）当∠F₁RF₂取最大值时，过R、F₁、F₂的圆的圆心角最大，故其半径最小，与直线l相切．
直线l与x轴于S（-8，0），
∵△F₁SR∽△RSF₂，
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设出AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及线段AB恰为圆的直径，可求椭圆的方程；
（2）设|MF|=m，|NF|=n，则由第二定义知 $\text{[math]}$ ，由此可求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）当∠F₁RF₂取最大值时，过R、F₁、F₂的圆的圆心角最大，故其半径最小，与直线l相切，利用△F₁SR∽△RSF₂，即可求 $\text{[math]}$ 的值．
点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆的第二定义，考查三角形的相似，正确运用椭圆的性质及第二定义是关键．