题目内容

已知向量
m
=（sinA，sinB），
n
=（cosB，cosA），
m
•
n
=sin2C，其中A、B、C为△ABC的内角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且
CA
• (
AB
-
AC
)  =18，求AB的长．
分析：（Ⅰ）根据数量积和两角和的正弦公式，二倍角公式可求C的值．
（Ⅱ）根据等差数列和数量积，列出三个边长的关系，借助余弦定理求得AB的值．
解答：解：（Ⅰ）
m
•
n
=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)（2分）
对于△ABC中A+B=π-C，0＜C＜π
∴sin（A+B）=sinC，
∴
m
•
n
=sinC（4分）
又∵
m
•
n
=sin2C，∴sinC=sin2C  ，cosC=
1
2
，C=
π
3
（7分）
（Ⅱ）由    sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，
由正弦定理得 2c=a+b（9分）
∵
CA
• (
AB
-
AC
)  =18，∴
CA
•
CB
=18，
即  abcosC=18，ab=16（12分）
由余弦弦定理 c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-3ab，
∴c2=4c2-3×36，，c=6（14分）
点评：本题考查平面向量的数量积的运算，正弦定理、余弦定理，两角和与差的三角函数，等差数列，是难题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=（sinθ，2cosθ），
n
=（
3
，-
1
2
）
（Ⅰ）当θ∈[0，π]时，求函数f（θ）=
m
×
n
的值域；
（Ⅱ）若
m
∥
n
，求sin2θ的值．
已知向量
m
=（sin（A-B），sin(
π
2
-A)），
n
=（1，2sinB），且
m
•
n
=-sin2C，其中A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA+sinB=
3
2
sinC，且S△ABC=
3
，求边c的长．
已知向量m=（sinωx，cosωx），n=（cosωx，
3
cosωx）且0＜ω＜2，函数f（x）=m•n，且f（
π
3
）=
3
2
．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=g（x）的图象向右平移
π
3
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
1
4
，得到函数y=f（x）的图象，求函数g（x）的解析式及其在[-
π
3
，
π
3
]上的值域．
已知向量
m
=（sinωx，1），
n
=（
3
Acosωx，
A
2
cos2ωx）（A＞0，ω＞0），函数f（x）=
m
•
n
的最大值为3，且其图象相邻两条对称轴之间的距离为π．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）将函数y=f（x）的图象向左平移
π
6
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
1
2
倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的单调递减区间；
（2）求函数g（x）在[
π
4
，
π
2
]上的值域．
已知向量m=(cosθ,sinθ),n=(-sinθ,cosθ),θ∈(π,2π),且|m+n|=,求cos(+)的值.

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