题目内容
【题目】已知.
(1)当时,若函数
存在与直线
平行的切线,求实数
的取值范围;
(2)当时,
,若
的最小值是
,求
的最小值.
【答案】(1);(2)
的最小值为
.
【解析】
(1)求出导函数,则
有实数解,由此可得
的范围;
(2)考虑到的表达式,题意说明
在
上恒成立,且“=”可取,这样问题又可转化为即
恒成立,且
可取.,即
的最小值是0.
,为求
的零点,由
得
,再由导数求得
的最小值是
.由于题中要求
的最小值,因此研究
时
的正负,从而得
的最小值,可证得此最小值
,且为0时
只有一解
,这样得出结论.
(1)因为,因为函数
存在与直线
平行的切线,所以
在
上有解,即
在
上有解,所以
,得
,
故所求实数的取值范围是
.
(2)由题意得:对任意
恒成立,且
可取,即
恒成立,且
可取.
令,即
,由
得
,令
.
当时,
,
在上,
;
在上,
.所以
.
令在
上递减,所以
,故方程
有唯一解
即
,
综上,当满足
的最小值为
,故
的最小值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).
(I)应收集多少位男生样本数据?
(II)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:,
,
,
,
,
,试估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率;
(Ⅲ)在样本数据中,有165位男生的每周平均体育运动时间超过4个小时请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表,并判断是否有%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
男生 | 女士 | 总计 | |
每周平均体育运动时 间不超过4小时 | |||
每周平均体育运动时 间超过4小时 | |||
总计 |
附:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |