题目内容
【题目】已知椭圆
的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为
，
为坐标原点.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设点
，直线
与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
【答案】（1）
；（2）详见解析.
【解析】
（1）由题意
，根据过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为
，求出
，求出
，即得椭圆
的方程；
（2）设
.把直线
的方程代入椭圆的方程，韦达定理.写出直线
和直线
的方程，求出
.根据
，求出
的值，即可证明直线l经过定点.
（1）由题意，得椭圆的半焦距，右焦点
，上顶点
，所以直线
的斜率
，解得
，由
，得
，所以椭圆的方程为.
（2）设.
联立
得
，
，
，
.
直线
，令
得
，即
；
同理可得
.
因为，所以
；
，解之得只有
满足题意，所以直线方程为
，所以直线恒过定点
.
【题目】某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种.
方案一：每满100元减20元；
方案二：满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球（逐个有放回地抽取），所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）
红球个数 | 3 | 2 | 1 | 0 |
实际付款 | 7折 | 8折 | 9折 | 原价 |
（1）该商场某顾客购物金额超过100元，若该顾客选择方案二，求该顾客获得7折或8折优惠的概率；
（2）若某顾客购物金额为180元，选择哪种方案更划算？
【题目】为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：
，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求
的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 50 | ||
合计 | 100 |
参考公式及数据：
.
| 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
