题目内容
【题目】已知抛物线
，过
的直线与抛物线
相交于
两点.
（1）若点
是点
关于坐标原点
的对称点，求
面积的最小值；
（2）是否存在垂直于
轴的直线
，使得被以
为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，直线
的方程为
；定值为
【解析】
（1）设
，
，直线
的方程为
，联立直线的方程与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得
，
，然后
，用
将
表示出来即可.
（2）假设满足条件的直线存在，其方程为
，则以
为直径的圆的方程为
，将直线方程代入，得
，然后将
表示出来即可.
（1）依题意，点
的坐标为
，可设，，
直线的方程为，与
联立得
.
由韦达定理得：，，
于是
，
所以当
时，
面积最小值，最小值为.
（2）假设满足条件的直线存在，其方程为，
则以为直径的圆的方程为，
将直线方程代入，得，
则
.
设直线与以为直径的圆的交点为
，
，
则
，
，于是有
.
当
，即
时，
为定值.
故满足条件的直线存在，其方程为.
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【题目】班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）
（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：
学生序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
数学成绩 | 60 | 65 | 70 | 75 | 85 | 87 | 90 |
物理成绩 | 70 | 77 | 80 | 85 | 90 | 86 | 93 |
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为
，求的分布列和数学期望；
②根据上表数据，求物理成绩
关于数学成绩
的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：线性回归方程
，
其中
，
.
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|
|
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76 | 83 | 812 | 526 |
