[题目]已知抛物线.过的直线与抛物线相交于两点.(1)若点是点关于坐标原点的对称点.求面积的最小值,(2)是否存在垂直于轴的直线.使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在.求出的方程和定值,若不存在.说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知抛物线，过的直线与抛物线相交于两点.

（1）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；

（2）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）（2）存在，直线的方程为；定值为

【解析】

（1）设，，直线的方程为，联立直线的方程与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得，，然后，用将表示出来即可.

（2）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，将直线方程代入，得，然后将表示出来即可.

（1）依题意，点的坐标为，可设，，

直线的方程为，与联立得.

由韦达定理得：，，

于是，

所以当时，面积最小值，最小值为.

（2）假设满足条件的直线存在，其方程为，

则以为直径的圆的方程为，

将直线方程代入，得，

则.

设直线与以为直径的圆的交点为，，

则，，于是有

当，即时，为定值.

故满足条件的直线存在，其方程为.

练习册系列答案

相关题目

【题目】已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点，当直线与轴垂直时，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当直线与轴不垂直时，在轴上是否存在一点（异于点），使轴上任意点到直线，的距离均相等？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由.

【题目】已知点P在抛物线上，且点P的横坐标为2，以P为圆心，为半径的圆（O为原点），与抛物线C的准线交于M，N两点，且．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若抛物线的准线与y轴的交点为H．过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B，且，求的值．

【题目】我们把有相同数字相邻的数叫“兄弟数”，现从由一个1，一个2，两个3，两个4这六个数字组成的所有不同的六位数中随机抽取一个，则抽到“兄弟数”的概率为______.

【题目】已知椭圆的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为，为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.

【题目】记抛物线的焦点为，点在抛物线上，且直线的斜率为1，当直线过点时，.

（1）求抛物线的方程；

（2）若，直线与交于点，，求直线的斜率.

【题目】三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明,左上面是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实,图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红(朱)色及黄色,其面积称为朱实以及黄实,并且利用勾股(股勾）朱实黄实弦实，化简得勾股弦，设勾股中勾股比为,若向弦图内随机抛掷颗图钉,则落在黄色图形内的图钉数大约为_______________.