Question

在实数集R上定义运算：xy＝x(a－y)(a∈R，a为常数)．若f(x)＝e^x，g(x)＝e^－x＋2x²，F(x)＝f(x)g(x)．

(Ⅰ)求F(x)的解析式；

(Ⅱ)若F(x)在R上是减函数，求实数a的取值范围；

(Ⅲ)若a＝－3，在F(x)的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)由题意，F(x)＝f(x)(a－g(x))　2分

　　＝e^x(a－e^－x－2x²)

　　＝ae^x－1－2x²e^x　4分

　　(Ⅱ)∵(x)＝ae^x－2x²e^x－4xe^x＝－e^x(2x²＋4x－a)，　6分

　　当x∈R时，F(x)在减函数，

　　∴(x)≤0对于x∈R恒成立，即

　　－e^x(2x²＋4x－a)≤0恒成立，　8分

　　∵e^x＞0，

　　∴2x²＋4x－a≥0恒成立，

　　∴△＝16－8(－a)≤0，

　　∴a≤－2．　10分

　　(Ⅲ)当a＝－3时，F(x)＝－3e^x－1－2x²e^x，

　　设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)是F(x)曲线上的任意两点，

　　∵(x)＝－e^x(2x²＋4x＋3)

　　＝－e^x[2(x＋1)²＋1]＜0，　12分

　　∴(x₁)·(x₂)＞0，

　　∴(x₁)·(x₂)＝－1不成立　13分

　　∴F(x)的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直．　14分