Question

如图正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是B₁B、AB、BC的中点．
（1）证明：D₁F⊥平面AEG；
（2）求，．

Answer 1

【答案】分析：（1）如图以D为原点，DA、DC、DD₁所在的直线分别为x、y、z轴，求出D₁F与EG₁的方向向量，根据向量的数量积为0，两个向量垂直得到D₁F⊥EG，D₁F⊥AE．结合线面垂直的判定定理可得D₁F⊥平面AEG．
（2）由 由=（0，a，），=（a，a，-a），代入向量夹角公式可得cos＜，＞．
解答：解：以D为原点，DA、DC、DA₁所在的直线分别为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系，设正方体AC₁棱长为a，则D（0，0，0），
A（a，0，0），B（a，a，0），D₁（0，0，a），E（a，a，），
F（a，，0），G（，a，0）．
（1）=（0，a，），∴=a×0+×a-a×=0
∴D₁F⊥AE，
同理D₁F⊥EG
∵EG∩AE=E，∴D₁F⊥平面AEG．
（2）由=（0，a，），=（a，a，-a）
∴cos＜，＞==．
点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，点、线、面间的距离计算，是立体几何的一个综合考查，难度稍大．