Question

如图，长方体AC₁中，AB＝2，BC＝AA₁＝1.E、F、G分别为棱DD₁、D₁C₁、BC的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)在底面A₁D₁上有一个靠近D₁的四等分点H，求证： EH∥平面FGB₁；
(3)求四面体EFGB₁的体积．

Answer 1

(1),,(2) 取A₁D₁的中点P，D₁P的中点H，连结DP、EH，则DP∥B₁G，EH∥DP，∴EH∥B₁G ∴EH∥平面FGB₁ (3)

试题分析：（1）   
(2)取A₁D₁的中点P，D₁P的中点H，连结DP、EH，则DP∥B₁G，EH∥DP，
∴EH∥B₁G，又B₁G?平面FGB₁，∴EH∥平面FGB₁.
即H在A₁D₁上，且HD₁＝A₁D₁时，EH∥平面FGB₁.
(3)∵EH∥平面FGB₁，∴VE—FGB₁＝VH—FGB₁，
而VH—FGB₁＝VG—HFB₁＝×1×S△HFB₁，
S_△HFB₁＝S梯形B₁C₁D₁H－S△B₁C₁F－S△D₁HF＝，
∴V四面体EFGB₁＝VE—FGB₁＝VH—FGB₁＝×1×＝.
点评：本题还可用空间向量的方法证明计算，思路简单