题目内容
(本小题满分12分)
在如图的多面体中,⊥平面,,,,,,,是的中点.
(Ⅰ) 求证:平面;
(Ⅱ) 求二面角的余弦值.
在如图的多面体中,⊥平面,,,,,,,是的中点.
(Ⅰ) 求证:平面;
(Ⅱ) 求二面角的余弦值.
(Ⅰ) ∴四边形是平行四边形∴ ∴平面 (Ⅱ)
试题分析:(Ⅰ)证法一:∵, ∴.
又∵,是的中点, ∴,
∴四边形是平行四边形, ∴ .
∵平面,平面, ∴平面.
证法二:∵平面,平面,平面,
∴,,又,∴两两垂直.
以点E为坐标原点,分别为轴建立如图的空间
直角坐标系.
由已知得,(0,0,2),(2,0,0),
(2,4,0),(0,3,0),(0,2,2),(2,2,0)
,
设平面的法向量为
则,即,令,得.
∴,即.
∵平面, ∴平面.
(Ⅱ)由已知得是平面的法向量.
设平面的法向量为,∵,
∴,即,令,得.
则, ∴二面角的余弦值为
点评:利用向量法求解空间几何问题比其他方法思路简单
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