题目内容
【题目】已知
，
.
（1）当
时，求
在
的切线方程；
（2）若对任意
时，
恒成立，求
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）当
时，利用
的导数与直线的点斜式可求出在
的切线方程.
（2）若对任意
时，
恒成立，转换成
，
；分类讨论
和函数的最值，可求出的取值范围.
已知
，
.
（1）当时，
，
所以
，
，
所以在的切线方程：
，
即.
（2）若对任意时，恒成立，则：，；
当
时，
，所以函数在
上单调递增，
，（舍去）
当
时，，所以函数在
上单调递增；
，所以恒成立，所以；
当
时，
，解得：
，
所以函数在
上单调递减，
函数在
上单调递增；
令
，
，
，
所以
在
上单调递减，函数在
上单调递增；
；
所以
；
所以函数在
上单调递增；
，
，
时，
；
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
因为
，
所以
对于恒成立，
所以函数
在
上单调递增；
；
所以
恒成立；
综上可得：
【题目】最近，纪录片《美国工厂》引起中美观众热议，大家都认识到，大力发展制造业，是国家强盛的基础，而产业工人的年龄老化成为阻碍美国制造业发展的障碍，中国应未雨绸缪.某工厂有35周岁以上(含35周岁)工人300名，35周岁以下工人200名，为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“35周岁以上(含35周岁)”和“35周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组:
分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“35周岁以下组”工人的概率.
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成
的列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?
生产能手 | 非生产能手 | 合计 | |
35岁以下 | |||
35岁以上 | |||
合计 |
附表:
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
