题目内容
【题目】如图
，在边长为
的菱形
中，
，现沿对角线
把
翻折到
的位置得到四面体
，如图
所示.已知
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）若
是线段
上的点，且
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）取
的中点
，连接
、
，推导出
、
，利用线面垂直的判定定理得出
平面
，再利用面面垂直的判定定理可证得平面
平面；
（2）推导出
、
、
两两垂直，以为坐标原点，、、所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
，计算出向量
的坐标，利用空间向量法可求得二面角
的余弦值.
（1）在三棱锥
中，取的中点，连接、，得到
，
四边形
是菱形，
，
，
又
，
，
，
，
又
，
，
，
又
，
，、
平面，
平面，
又
平面
，
平面平面；
（2）
，为中点，
，
、、两两垂直，
以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
、
、
、
，
，
，
设平面
的法向量
，
由
，即
，解得
，取
，则
，
易知平面的一个法向量为
，
.
由图可知二面角为锐角，所以，二面角的余弦值为.
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【题目】田忌赛马是
史记
中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马，孙膑发也们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等
于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略：比赛即将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马，从而使田忌赢得公子们许多赌注假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示：
田忌的马 | 上等马 | 中等马 | 下等马 |
上等马 |
|
| 1 |
中等马 |
|
|
|
下等马 | 0 |
|
|
比赛规则规定：一次比由三场赛马组成，每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同，三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者．
如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；
如果比赛约定，只能同等级马对战，每次比赛赌注1000金，即胜利者赢得对方1000金，每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望．
