题目内容

下列命题：
（1）若不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集非空，则必有a≥1；
（2）函数y=sinxcosx+cos2x最小正周期是2π
（3）函数y=f（a+x）与函数y=f（a-x）的图象关于直线x=a对称；
（4）若f（x+a）=f（a-x），则函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称．
其中错误的命题的序号是
（1）（2）（3）．
（1）（2）（3）．
（把你认为错误的命题的序号都填上）．
分析：（1）利用绝对值不等式的性质判断．（2）利用三角函数的图象和性质判断．
（3）利用函数图象的平移关系判断函数的对称性．（4）利用函数对称性的定义进行判断．
解答：解：（1）根据绝对值不等式的性质可知不等式|x-4|+|x-3|≥1，所以要使|x-4|+|x-3|＜a的解集非空，则必有a＞1，所以（1）错误．
（2）函数y=sinxcosx+cos2x=
1
2
sin2x+
1+cos2x
2
=
2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
，所以周期T=
2π
2
=π，所以（2）错误．
（3）因为y=f（a-x）=f（a+（-x）），所以设y=F（x）=f（a+x），F（-x）=f（a+（-x）），所以F（x）是偶函数，所以图象关于y轴对称，所以（3）错误．
（4）根据函数对称性的公式可知若f（x+a）=f（a-x），则函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称，所以（4）正确．
故答案为：（1）（2）（3）．
点评：本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，综合性较强，要求熟练掌握函数的性质，以及函数性质的综合应用．
练习册系列答案
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已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题：
（1）若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β；
（2）若m∥α，n∥β且m∥n，则α∥β；
（3）若m⊥α，n∥β且m⊥n，则α⊥β；
（4）若m⊥α，n∥β且m∥n，则α∥β．
其中正确命题的个数是（　　）
A、0B、1C、2D、3
5、给定下列命题：
（1）若一直线垂直于一个平面，则此直线垂直于平面内所有直线；
（2）若一直线平行于一个平面，则此直线平行于平面内无数条直线；
（3）若一直线与一个平面不垂直，则此直线与平面内所有直线不垂直；
（4）若一直线与一个平面不平行，则此直线与平面内所有直线不平行，其中错误命题的个数是（　　）
给定下列命题：
（1）“若m＞0，则方程x2+2x-m=0有实数根”的逆否命题；
（2）“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件；
（3）命题“?x，y∈R，如果xy=0，则x=0或y=0”的否命题是“?x，y∈R，如果xy≠0，则x≠0且y≠0”：
（4）“￢p”为真是“p∧q“为假的必要不充分条件
（5）全称命题“?x∈R，x2+x+3＞0”的否定是“?x0∈R，x02+x0+3≤0”
其中真命题的序号是
①②③⑤
①②③⑤
．
设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．
上面命题中，正确命题的个数是
2
2
  个．
设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若a?α，b?α，a，b是异面直线，那么b∥α；（2）若a∥α且b∥α，则a∥b；
（3）若a?α，b∥α，a，b共面，那么a∥b；（4）若a⊥α且a⊥β，则α∥β．
上面命题中，所有真命题的序号是
（3）（4）
（3）（4）
．

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