题目内容
设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;
(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;
(3)设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;
(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.
上面命题中,正确命题的个数是
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;
(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;
(3)设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;
(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.
上面命题中,正确命题的个数是
2
2
个.分析:利用面面平行的判定定理可判断(1);利用线面平行的判定定理可判断(2);利用面面垂直的性质可判断(3),利用线面垂直的性质可判断(4).
解答:解:(1)由面面平行的判定定理可知,若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β,正确;
(2)由线面平行的判定定理可知(2)正确;
(3)α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则不能推出α和β垂直,故(3)错误;
(4)直线l与α垂直⇒l与α内的两条直线垂直,(充分性成立),反之不然(必要性不成立),故(4)错误.
综上所述,①②正确.
故答案为:2.
(2)由线面平行的判定定理可知(2)正确;
(3)α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则不能推出α和β垂直,故(3)错误;
(4)直线l与α垂直⇒l与α内的两条直线垂直,(充分性成立),反之不然(必要性不成立),故(4)错误.
综上所述,①②正确.
故答案为:2.
点评:本题考查命题的真假判断与应用,考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理与性质,属于中档题.
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