Question

15．已知函数g（x）=log_a（x²-ax）在[2，3]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 设函数t=x²-ax，讨论a＞1和0＜a＜1时，根据复合函数的单调性求出满足条件的a的取值范围即可．

解答 解：根据题意得，函数t=x²-ax的对称轴为x=$\frac{a}{2}$；
①当a＞1时，由复合函数的单调性知，
g（x）在[2，3]单调递增时，函数t单调增且t＞0在[2，3]上恒成立；
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{\frac{a}{2}≤2}\\{{2}^{2}-2a＞0}\end{array}\right.$，解得1＜a＜2；
②当0＜a＜1时，由复合函数的单调性知，
g（x）在[2，3]单调递增时，函数t单调减且t＞0在[2，3]上恒成立；
则$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{a}{2}≥2}\\{{3}^{2}-3a＞0}\end{array}\right.$，此时a不存在；
综上，a的取值范围是1＜a＜2．

点评 本题考查了由对数函数及二次函数组成复合函数的单调性应用问题，解题时应注意对数的真数大于0这一条件的考虑，是中档题目．