题目内容
【题目】已知数列满足
,且对任意非负整数
均有:
.
(1)求;
(2)求证:数列是等差数列,并求
的通项;
(3)令,求证:
【答案】(1),
;(2)
;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)对m、n赋值,想方设法将条件变出.为了得到
,显然令m=n即可.
为了得到,令m=1,n=0即可.
(2)首先要想办法得相邻两项(三项也可)间的递推关系.
要证数列是等差数列,只需证明
为常数即可.
(3)数列中有关和的不等式的证明一般有以下两种方向,一是先求和后放缩,二是先放缩后求和.在本题中,易得,∴
这是典型的用裂项法求和的题.故先求出和来,然后再用放缩法证明不等式.
试题解析:(1)令得
, 1分
令,得
,∴
3分
(2)令,得:
∴,又
,
∴数列是以2为首项,2为公差的等差数列.
∴
∴
∴9分
(3)
∴
∴13分
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