Question

（本小题满分12分）
函数.
(Ⅰ) 判断函数的奇偶性，并求其最大值；
(Ⅱ) 求证：；
(Ⅲ) 求证：的图象与轴所围成的图形的面积不小于.

Answer 1

(Ⅰ)偶函数，最大值
(Ⅱ)证明见解析
(Ⅲ)证明见解析

（Ⅰ）定义域为,
,则为偶函数，
,则,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
则最大值;------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）要证明,
只需证,
设,
则
令，则
所以，在上为单调递减函数，
因此，
所以当时,,又因为,则为偶函数,
所以,则原结论成立；----------------------------------------8分
(Ⅲ)由标准正态分布与轴围成的面积为,
则由(Ⅱ)得，
则,
所以的图象与轴所围成的图形的面积不小于.------------------12分