题目内容

已知函数y=f(x),任取t∈R,定义集合:At={y|y=f(x)},点P(t,f(t)),Q(x,f(x))满足|PQ|数学公式}.设Mt,mt分别表示集合At中元素的最大值和最小值,记h(t)=Mt-mt.则
(1)若函数f(x)=x,则h(1)=______;
(2)若函数f(x)=sin数学公式x,则h(t)的最小正周期为______.

解:(1)若函数f(x)=x,则 点P(t,t),Q(x,x),∵|PQ|,∴
化简可得|x-t|≤1,-1≤x-t≤1,即 1-t≤x≤t+1,即Mt =1+t,mt =1-t,∵h(t)=Mt-mt
h(1)=(1+1)-(1-1)=2.
(2)若函数f(x)=sinx,此时,函数的最小正周期为=4,点P(t,sin),Q(x,sin),
如图所示:当点P在A点时,点O在曲线OAB上,Mt=1,mt=0,h(t)=Mt-mt=1.
当点P在曲线上从A接近B时,h(t)逐渐增大,当点P在B点时,Mt=1,mt=-1,h(t)=Mt-mt=2.
当点P在曲线上从B接近C时,h(t)逐渐见减小,当点P在C点时,Mt=1,mt=0,h(t)=Mt-mt=1.
当点P在曲线上从C接近D时,h(t)逐渐增大,当点P在D点时,Mt=1,mt=-1,h(t)=Mt-mt=2.
当点P在曲线上从D接近E时,h(t)逐渐见减小,当点P在E点时,Mt=1,mt=0,h(t)=Mt-mt=1.
…依此类推,发现 h(t)的最小正周期为2,
故答案为 2.
分析:(1)若函数f(x)=x,则点P(t,t),Q(x,x),根据|PQ|,求得 1-t≤x≤t+1,即Mt =1+t,mt =1-t,由此可得h(1)的值.
(2)若函数f(x)=sinx,画出函数的图象,分析点P在曲线上从A接近B,从B接近C,从C接近D时,从D接近E时,h(t)值的变化情况,从而得到 h(t)的最小正周期.
点评:本题主要考查函数的周期性,体现了数形结合以及分类讨论的数学思想,属于基础题.
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