Question

11．已知关于x的函数f（x）=1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$（a＞0，且a≠1）．
（1）若f（2）=$\frac{3}{5}$，求实数a的值；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在区间（-∞，+∞）上的单调性并证明．

Answer 1

分析 （1）若f（2）=$\frac{3}{5}$，代入求解即可求实数a的值；
（2）根据函数奇偶性的性质即可判断f（x）的奇偶性；
（3）根据函数奇偶性的定义判断f（x）在区间（-∞，+∞）上的单调性并证明．

解答 解：（1）若f（2）=$\frac{3}{5}$，则f（2）=1-$\frac{2}{{a}^{2}+1}$=$\frac{3}{5}$，
即$\frac{2}{{a}^{2}+1}$=$\frac{2}{5}$，
则a²+1=5，即a²=4，解得a=2；
（2）f（x）=1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$=$\frac{{a}^{x}+1-2}{{a}^{x}+1}$=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$，
则f（-x）=$\frac{{a}^{-x}-1}{{a}^{-x}+1}$=$\frac{1-{a}^{x}}{1+{a}^{x}}$=-$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$=-f（x），
则f（x）为奇函数；
（3）设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=1-$\frac{2}{{a}^{{x}_{1}}+1}$-（1-$\frac{2}{{a}^{{x}_{2}}+1}$）=（$\frac{2}{{a}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{a}^{{x}_{1}}+1}$）=$\frac{2（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）}{（{a}^{{x}_{1}}+1）（{a}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，
∴若a＞1，则${a}^{{x}_{1}}$＜${a}^{{x}_{2}}$，
∴${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），即函数为增函数．
∴若0＜a＜1，则${a}^{{x}_{1}}$＞${a}^{{x}_{2}}$，
∴${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），即函数为减函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用定义法是解决本题的关键．