Question

6．△ABC的三角A，B，C的对边分别为a，b，c满足（2b-c）cosA=acosC．
（1）求A的值；
（2）若a=2，求△ABC面积的最大值；
（3）若a=2，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知的等式，再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinB不为0，得到cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子，得到b²+c²-bc=4，结合基本不等式求出bc≤4，再用正弦定理的面积公式算出当且仅当b=c=2时，△ABC的面积的最大值为$\sqrt{3}$．
（3）利用余弦定理结合基本不等式，可求△ABC的周长的取值范围．

解答 解：（1）将（2b-c）cosA=acosC代入正弦定理得：
（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC，
即2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin（A+C）=sinB，
由B∈（0，180°），得到sinB≠0，
所以cosA=$\frac{1}{2}$，又A∈（0，180°），
则A的度数为60°．
（2）∵a=2，A=60°，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得
4=b²+c²-2bccos60°，即b²+c²-bc=4
∴b²+c²=4+bc≥2bc，可得bc≤4
又∵△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\sqrt{3}$
∴当且仅当b=c=2时，△ABC的面积的最大值为$\sqrt{3}$，此时△ABC是等边三角形．
（3）由题意，b＞0，c＞0，b+c＞a=2，
∴由余弦定理4=b2+c2-2bccos60°=（b+c）²-3bc≥$\frac{1}{4}$（b+c）²（当且仅当b=c时取等号），
∴b+c≤4，
∵b+c＞2，
∴2＜b+c≤4，
∴△ABC的周长的取值范围为（4，6]．

点评 此题考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，两角和的正弦函数公式及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，学生在求值时注意运用三角形内角和定理这个隐含条件，同时注意角度的范围．