题目内容
已知函数
,满足:①对任意
,都有
;
②对任意n∈N *都有
.
(Ⅰ)试证明:
为
上的单调增函数;
(Ⅱ)求
;
(Ⅲ)令
,试证明:




②对任意n∈N *都有

(Ⅰ)试证明:


(Ⅱ)求

(Ⅲ)令



解:(I) 由①知,对任意
,都有
,
由于
,从而
,所以函数
为
上的单调增函数
(II)令
,则
,显然
,否则
,与
矛盾.从而
,而由
,即得
.
又由(I)知
,即
.
于是得
,又
,从而
,即
.
进而由
知,
.
于是
,
,
,
,
,
, 由于
,
而且由(I)知,函数
为单调增函数,因此
.
从而
.
(Ⅲ)
,
,
.
即数列
是以6为首项, 以3为公比的等比数列 .
∴
于是
,显然
,
另一方面
,
从而
.
综上所述,
.


由于




(II)令








又由(I)知


于是得




进而由


于是







而且由(I)知,函数


从而

(Ⅲ)



即数列

∴

于是


另一方面

从而

综上所述,


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