Question

10．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，且|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，求：
（1）（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）；
（2）（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）与（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）的夹角θ．

Answer 1

分析 （1）由数量积的运算可得（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$，代值计算即可；
（2）由模长公式可得|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|和|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，代入夹角公式计算可得．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，且|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，
∴（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$
=16-4×2×（-$\frac{1}{2}$）-2×4=12；
（2）由模长公式可得|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}}$
=$\sqrt{16-4×4×2×（-\frac{1}{2}）+4×4}$=4$\sqrt{3}$，
同理可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$
∵（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）与（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）的夹角θ，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$=$\frac{12}{4\sqrt{3}•2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$
∴（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）与（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）的夹角θ=$\frac{π}{3}$

点评 本题考查数量积与向量的夹角，涉及模长公式和夹角公式，属基础题．