题目内容
【题目】定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,当x∈(﹣1,9)时,f(x)=x2﹣2x , 则函数f(x)在[0,2016]上的零点个数是 .
【答案】605
【解析】解:∵f(x)+f(x+5)=16,
f(x+5)+f(x+10)=16,
两式相减得,f(x)=f(x+10),
故f(x)为周期为10的函数,x∈(﹣1,9)时,
令f(x)=x2﹣2x=0得:x2=2x ,
在同一坐标系中作出y=x2与y=2x的图象如下,
由图知,当x∈(﹣1,4]时,函数f(x)=x2﹣2x有3个零点(y轴右侧的两个零点为2和4),
∵f’(x)=2x﹣2xln2,∴当x∈(4,9)时,f’(x)<0,函数单调减,即无零点,
综上:函数f(x)在一个周期内有三个零点, =201+6,
就是说在区间在[0,2016]上有201个完整周期,这201个周期内共603个零点,在[0,6]内有二个零点,
∴函数f(x)在[0,2016]上共有605个零点,
所以答案是:605.
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