Question

19．已知函数${f_n}（x）=a{x^n}+bx+c（a，b，c∈R）$
（1）若f₁（x）=3x+1，f₂（x）为偶函数，求a，b，c的值；
（2）若对任意实数x，不等式$2x≤{f_2}（x）≤\frac{1}{2}{（x+1）^2}$恒成立，求f₂（-1）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f₁（x）=3x+1，f₂（x）=ax²+bx+c为偶函数，运用偶函数的定义和恒等式的知识即可得到a，b，c；
（2）先令x=1，可得f₂（1）=2，即a+b+c=2，再由不等式恒成立，结合二次函数的判别式小于等于0，及配方思想，可得a的范围，进而得到f₂（-1）=4a-2，可得范围．

解答 解：（1）f₁（x）=3x+1，f₂（x）=ax²+bx+c为偶函数，
可得a+b=3，b=0，c=1，
解得a=3，b=0，c=1；
（2）可令x=1，即有2≤f₂（1）≤2，
则f₂（1）=2，即a+b+c=2，
由2x≤f₂（x）恒成立，即为ax²+（b-2）x+c≥0，
可得a＞0，且（b-2）²-4ac≤0，
即有（a+c）²-4ac≤0，即有（a-c）²≤0，
则a=c成立，
即有b=2-2a，又f₂（x）-$\frac{1}{2}$（x+1）²=ax²+（2-2a）x+a-$\frac{1}{2}$（x+1）²=（a-$\frac{1}{2}$）（x-1）²，
对任意的x∈R，都有f₂（x）≤$\frac{1}{2}$（x+1）²，即有0＜a≤$\frac{1}{2}$，
故f₂（-1）=a-b+c=4a-2的取值范围是（-2，0]．

点评 本题考查函数的性质和应用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用判别式和配方思想，考查运算能力，属于中档题．