题目内容
如图，半径为30
的圆形（
为圆心）铁皮上截取一块矩形材料
，其中点
在圆弧上，点
在两半径上，现将此矩形材料卷成一个以
为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设
与矩形材料的边
的夹角为
，圆柱的体积为
.
（1）求关于的函数关系式？
（2）求圆柱形罐子体积的最大值.
（1）
；（2）
解析试题分析：（1）利用解直角三角形用将OA，AB表示出来，利用OA是圆柱的底面周长，将圆柱的底面半径用表示出来，圆柱的高就是AB，再利用圆柱的体积公式求出圆柱的体积即为所求关于的函数关系式，注意要标明定义域；（2）设sin=
,将圆柱形罐子体积化为关于的函数，注意的范围，求出
的导数，利用导数求出单调区间，求出的极值，再求出函数的最大值就是圆柱形罐子体积的最大值.
试题解析：（1）
（2）令
，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
即当
时，体积取得最大值
.
【解法2】：（1）连接，在
中，设
，则
设圆柱底面半径为
，则
，即
，
，其中
.
（2）由
，得
由
解得
；由
解得
．
因此在
上是增函数，在
上是减函数．
所以当时，有最大值．
考点：1.圆的参数方程；2.圆柱的体积公式；3.利用导数求函数最值；4.运算求解能力.
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R）.
在点
处的切线与直线
平行，求
的值；
的单调区间和极值；
，且
时，证明：
（e为自然对数的底数）.
处的切线为
，若
，求a的值；
恒成立，试确定
的取值范围；
上是否存在极值？若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由.
，
.
在点
处的切线平行于
轴，求
的值；
时，若对
，
恒成立，求实数
的取值范围；
，在（1）的条件下，证明当
时，对任意两个不相等的正数
、
，有
.
时，求函数f(x)的单调区间；
时，函数y=f(x)图像上的点都在
所表示的平面区域内，求实数a的取值范围；
（其中
,e是自然数对数的底数）
上给定曲线
，试在此区间内确定点
的值，使图中所给阴影部分的面积
与
之和最小．
，
．
的单调区间；
的最小值为
，求
的值．
的前
项和为
，对一切正整数
都在函数
的图像上，且过点
.
，等差数列
的任一项
，其中
是
中所有元素的最小数，
，求
．
时，求
的最大值；
恒成立；
．（参考数据：
）