Question

如图，已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AC⊥DB，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=，PB⊥PD.
（Ⅰ）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角P—AB—C的大小；
（Ⅲ）设点M在棱PC上，且，问为何值时，PC⊥平面BMD.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）45°（Ⅲ）

以O为原点，OA，OB，OP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（－1，0，0），D（0，－1，0），P（0，0，）.
（1），


故直线PD与BC所成的角的余弦值为
（2）设平面PAB的一个法向量为，
由于
由
取的一个法向量

又二面角P—AB—C不锐角.
∴所求二面角P—AB—C的大小为45°
（3）设三点共线，

                     （1）
               （2）
由（1）（2）知  
   
故