题目内容

【题目】椭圆Γ: =1(a>b>0)的左右焦点分别为F1 , F2 , 焦距为2c,若直线y= 与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1 , 则该椭圆的离心率等于

【答案】
【解析】解:如图所示,
由直线y= 可知倾斜角α与斜率 有关系 =tanα,∴α=60°.
又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1 , ∴ ,∴
设|MF2|=m,|MF1|=n,则 ,解得
∴该椭圆的离心率e=
故答案为

由直线y= 可知斜率为 ,可得直线的倾斜角α=60°.又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1 , 可得 ,进而
设|MF2|=m,|MF1|=n,利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得 ,解出a,c即可.

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