题目内容
【题目】已知函数,
(1)若在
处取得极值,求
的值;
(2)求在区间
上的最小值;
(3)在(1)的条件下,若,求证:当
,恒有
【答案】(1) (2) 当
时,
在区间
上的最小值为
;当
时,
在区间
上的最小值为
(3)见解析
【解析】试题分析:(1) ,又
,易得:
,检验满足题意即可;
(2)对分类讨论,明确函数的单调性,从而得到
在区间
上的最小值;
(3)欲证,只需证
,即证
,即
,
设,求函数
的最小值大于零即可.
试题解析:
(1)由,定义域为
得
因为函数在
处取得极值,
所以,即
,解得
经检验,满足题意,所以。
(2)由(1)得
,定义域为
当时,由
得
,且
当时,
,
单调递减,当
时,
,
单调递增
所以在区间
上单调递增,最小值为
;
当时,
当时,
,
单调递减,当
时,
,
单调递增
所以函数在
处取得最小值
综上,当时,
在区间
上的最小值为
;
当时,
在区间
上的最小值为
(3)证明:由得
当时,
,
欲证,只需证
即证,即
设
则
当时,
,所以
在区间
上单调递增。
所以当时,
,即
故
所以当时,
恒成立。
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