Question

【题目】已知定义域为R的函数f（x）= 是奇函数，
（1）求实数a的值；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设关于x的方程f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）=0有实数根，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）= 是奇函数，

∴f（﹣x）= = =﹣f（x）=﹣ ，

∴a=1

（2）解：由（1）可知f（x）= =﹣1+

由上式易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，

又∵f（x）是奇函数，

从而不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（﹣2t2+k），

∵f（x）是减函数，由上式推得t2﹣2t＞﹣2t2+k，

即对一切t∈R有3t2﹣2t﹣k＞0，

从而判别式△=4+12k＜0，解得k＜﹣

（3）解：∵f（x）是奇函数，

∴f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）=0，

∴f（4x﹣b）=f（2x+1），

∴4x﹣b=2x+1，

∴b=4x﹣2x+1，

∵4x﹣2x+1=（2x）2﹣2×2x=（2x﹣1）2﹣1≥﹣1，

∴当b∈[﹣1，+∞）时方程有实数解

【解析】（1）根据奇函数的定义即可求出，（2）根据奇函数的定义将不等式化为：f（t2﹣2t）＜f（﹣2t2+k），再分离函数解析式，利用指数函数的复合函数的单调性判断出此函数的单调性，再列出关于x的不等式，由题意转化为：3t2﹣2t﹣k＞0恒成立，利用二次函数的性质列出等价不等式求解．（3）先将原方程变为b=4x﹣2x+1 ， 再利用整体思想将2x看成整体，结合二次函数的性质即可求得实数b的取值范围