题目内容

4.已知f1(x)=exsinx,fn(x)=fn-1′(x)(n≥2,n∈N*),则f1(0)+f2(0)+f3(0)+…+f2012(0)=1+4503

分析 求函数的导数,利用导数的规律性转化为等比数列的前n项和,进行求解即可.

解答 解:∵f1(x)=exsinx,
∴f2(x)=f1′(x)=exsinx+excosx,
f3(x)=f2′(x)=exsinx+excosx+excosx-exsinx=2excosx,
f4(x)=f3′(x)=2excosx-2exsinx,
f5(x)=f4′(x)=2excosx-2exsinx-2exsinx-2excosx=-4exsinx=-4f1(x),
f6(x)=f5′(x)=-4exsinx-4excosx=-4(exsinx+excosx)=-4f2(x),
则f1(0)=0,f2(0)=1,f3(0)=2,f4(0)=2,
 f5(0)=0,f6(0)=-4,f7(0)=-8,f8(0)=-8,

归纳得每四个的和构成一个5为首项,以-4为公比的等比数列
∵2012=4×503,
∴f1(0)+f2(0)+f3(0)+…+f2012(0)=$\frac{5×[1-(-4)^{503}]}{1-(-4)}$=1+4503
故答案为:1+4503

点评 本题主要考查函数值的计算,函数的导数的公式的应用,以及数列求和,求函数的导数,得到fn(0)的规律是解决本题的关键.

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