Question

4．已知数列{a_n}是等差数列，S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=-1，S₃=3
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设b_n=$\frac{2}{n（{a}_{n}+5）}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的通项公式以及前n项和公式建立条件关系，求出公差d，即可求数列{a_n}的通项公式．
（2）求出b_n=$\frac{2}{n（{a}_{n}+5）}$的表达式，利用裂项法进行求和．

解答 解：（1）设公差为d，
∵a₁=-1，S₃=3，
∴3a₁+$\frac{3×2}{2}d=3$，解得d=2，
则数列{a_n}的通项公式a_n=-1+2（n-1）=2n-3．
（2）b_n=$\frac{2}{n（{a}_{n}+5）}$=$\frac{2}{n（2n-3+5）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
则数列{b_n}的前n和T_n=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+$$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{1+n}$．

点评 本题主要考查数列通项公式的求解，以及利用裂项法进行求和，比较基础．