Question

12．已知：f（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$-x${\;}^{-\frac{1}{2}}$．
（1）证明：函数f（x）有反函数，并求出反函数；
（2）反函数的图象是否经过点（0，1）？反函数的图象与y=x有无交点？
（3）设反函数为y=f^-1（x），求不等式f^-1（x）≤0的解集．

Answer 1

分析 （1）判断函数的单调性即可证明函数f（x）有反函数，并求出反函数；
（2）根据反函数的解析式，代入进行求解即可．
（3）根据反函数的表达式，解不等式即可．

解答 证明：（1）函数的定义域为（0，+∞），则函数f（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$-x${\;}^{-\frac{1}{2}}$为增函数，
即函数f（x）为单调函数，则函数f（x）有反函数．
设x${\;}^{\frac{1}{2}}$=t，则y=t-$\frac{1}{t}$，
即ty=t²-1，即t²-ty-1=0，
解得t=$\frac{y+\sqrt{{y}^{2}+4}}{2}$，（因为t＞0，所以负值舍去），
即x${\;}^{\frac{1}{2}}$=$\frac{y+\sqrt{{y}^{2}+4}}{2}$，
平方得x=（$\frac{y+\sqrt{{y}^{2}+4}}{2}$）²=$\frac{{y}^{2}+y\sqrt{{y}^{2}+4}+2}{2}$，
所以反函数为y=$\frac{{x}^{2}+x\sqrt{{x}^{2}+4}+2}{2}$．
（2）当x=0，y=1，所以反函数图象过（0，1）点，
只需要看原函数是否与y=x有交点
由x${\;}^{\frac{1}{2}}$-x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=x，
即x=$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$，
即t²=t-$\frac{1}{t}$，
即t³-t²+1=0
令g（t）=t³-t²+1，
当0＜t＜1时，g（t）=t³+（1-t²）＞0
当t≥1时，g（t）=t²（t-1）+1＞0
所以g（t）在[0，+无穷）上没有零点，即无交点．
（3）由y=f^-1（x）=$\frac{{x}^{2}+x\sqrt{{x}^{2}+4}+2}{2}$≤0，
即x²+2≤$-x\sqrt{{x}^{2}+4}$，
左边是正数，则x＜0
两边平方可得（x²+2）²≤x²（x²+4）
令x²=m
则m²+4m+4≤m²+4m，
即4≤0，
即不等式无解，故不等式f^-1（x）≤0的解集为∅．

点评 本题主要考查反函数的判断和应用，考查学生的运算和推理能力．