题目内容
14.已知函数f(x)=$\frac{(\frac{1}{2})^{x}-1}{(\frac{1}{2})^{x}+2}$.(1)求f(x)的定义域,值域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;
(3)讨论f(x)的单调性.
分析 (1)根据分式函数的性质即可求函数的定义域和值域,
(2)根据函数奇偶性的定义即可判断f(x)的奇偶性;
(3)利用函数单调性的定义即可证明f(x)在定义域上单调递减.
解答 解:(1)∵($\frac{1}{2}$)x+2>0恒成立,
∴f(x)的定义域为(-∞,+∞),
由f(x)=$\frac{(\frac{1}{2})^{x}-1}{(\frac{1}{2})^{x}+2}$=$\frac{(\frac{1}{2})^{x}+2-3}{(\frac{1}{2})^{x}+2}$=1-$\frac{3}{(\frac{1}{2})^{x}+2}$.
∵($\frac{1}{2}$)x+2>2,
∴0<$\frac{1}{(\frac{1}{2})^{x}+2}$<$\frac{1}{2}$,
则-$\frac{1}{2}$<$\frac{1}{(\frac{1}{2})^{x}+2}$<0,
-$\frac{3}{2}$<-$\frac{3}{(\frac{1}{2})^{x}+2}$<0.
-$\frac{1}{2}$<1-$\frac{3}{(\frac{1}{2})^{x}+2}$<1.
即-$\frac{1}{2}$<f(x)<1.
则函数f(x)的值域为(-$\frac{1}{2}$,1);
(2)∵f(1)=$\frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}+2}$=$-\frac{1}{3}$,f(-1)=$\frac{2-1}{2+2}=\frac{1}{4}$,
∴f(-1)≠f(1)且f(-1)≠-f(1),
即f(x)为非奇非偶函数;
(3)f(x)=$\frac{(\frac{1}{2})^{x}-1}{(\frac{1}{2})^{x}+2}$=$\frac{(\frac{1}{2})^{x}+2-3}{(\frac{1}{2})^{x}+2}$=1-$\frac{3}{(\frac{1}{2})^{x}+2}$.
设x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=1-$\frac{3}{(\frac{1}{2})^{{x}_{1}}+2}$-1+$\frac{3}{(\frac{1}{2})^{{x}_{2}}+2}$=$\frac{3}{(\frac{1}{2})^{{x}_{2}}+2}$-$\frac{3}{(\frac{1}{2})^{{x}_{1}}+2}$=$\frac{3[(\frac{1}{2})^{{x}_{1}}-(\frac{1}{2})^{{x}_{2}}]}{[(\frac{1}{2})^{{x}_{1}}+2][(\frac{1}{2})^{{x}_{2}}+2]}$,
∵x1<x2,
∴$(\frac{1}{2})^{{x}_{1}}$>$(\frac{1}{2})^{{x}_{2}}$,即$(\frac{1}{2})^{{x}_{1}}$-$(\frac{1}{2})^{{x}_{2}}$>0,
则f(x1)>f(x2),
即f(x)在定义域上单调递减.
点评 本题主要考查函数定义域,值域,以及奇偶性和单调性的判断,利用定义法是解决本题的关键.
(Ⅰ)试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(Ⅱ)小明向班级同学发出倡议,为该小区居民捐款.现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助,设抽出损失超过8000元的居民为ξ户,求ξ的分布列和数学期望;
(Ⅲ)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的50户居民捐款情况如下表,在表格空白处填写正确数字,并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关?
经济损失不超过 4000元 | 经济损失超过 4000元 | 合计 | |
捐款超过 500元 | 30 | ||
捐款不超 过500元 | 6 | ||
合计 | (图2) |
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |