Question

20．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的四个顶点所构成的菱形的边长是$\sqrt{5}$，面积是4，圆R：（x-4）²+y²=r²（6＞r＞2）与椭圆C交于点M与点N，连接RM并延长交椭圆于点P．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的右顶点为A，当$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$取最小值时，求r的值；
（3）试问，当r变化时，直线NP是否与x轴交于一个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的四个顶点所构成的菱形的边长是$\sqrt{5}$，面积是4，可得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{5}}\\{\frac{1}{2}×2a×2b=4}\end{array}\right.$，解出即可得出；
（2）由（1）可得：A（2，0），由椭圆与圆的对称性可设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ）．不妨取（θ∈（0，π））．利用数量积运算可得：$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=$5（cosθ-\frac{4}{5}）^{2}$-$\frac{1}{5}$．再利用二次函数的单调性即可得出．
（3）设P（x₂，y₂），M（x₁，y₁），则N（x₁，-y₁）．直线MR的方程为：y=k（x-4）．与椭圆方程联立可得：（1+4k²）x²-32k²x+64k²-4=0，设直线PN的方程为：y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），令y=0，可得$x=\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，利用根与系数的关系化简即可得出．

解答 解：（1）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的四个顶点所构成的菱形的边长是$\sqrt{5}$，面积是4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{5}}\\{\frac{1}{2}×2a×2b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=1}\end{array}\right.$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）可得：A（2，0），
由椭圆与圆的对称性可设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ）．不妨取（θ∈（0，π））．
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=（2cosθ-2，sinθ）•（2cosθ-2，-sinθ）=（2cosθ-2）²-sin²θ=5cos²θ-8cosθ+3=$5（cosθ-\frac{4}{5}）^{2}$-$\frac{1}{5}$．
∴当cosθ=$\frac{4}{5}$时，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$取得最小值-$\frac{1}{5}$，此时M$（\frac{8}{5}，\frac{3}{5}）$．
∴$r=\sqrt{（\frac{8}{5}-4）^{2}+（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{5}$．
（3）设P（x₂，y₂），M（x₁，y₁），则N（x₁，-y₁）．直线MR的方程为：y=k（x-4）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为（1+4k²）x²-32k²x+64k²-4=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{32{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．
直线PN的方程为：y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），
令y=0，化为$x=\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{2}-4）{x}_{1}+k（{x}_{1}-4）{x}_{2}}{k（{x}_{1}+{x}_{2}）-8k}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{（{x}_{1}+{x}_{2}）-8}$
=$\frac{\frac{2（64{k}^{2}-4）}{1+4{k}^{2}}-\frac{4×32{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}}{\frac{32{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}-8}$=1，
∴当r变化时，直线NP与x轴交于一个定点（1，0）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．