Question

【题目】如图，在三棱柱中，，，，在底面的射影为的中点，是的中点.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）设为的中点，连接，依题意有，，故平面.根据分析有，故平面；（2）以的中点为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求得余弦值为.

试题解析：

（1）设为的中点，连接.由题意得：平面，所以.

因为，所以，，故平面.

由分别为的中点，得且，

从而且，所以为平行四边形，故，

又因为平面，所以平面.

（2）方法一：作，且，连结.

由，，得，

由，，得与全等.

由，得，因此为二面角的平面角.

由，，，得，，

由余弦定理得.

方法二：

以的中点为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

由题意知各点坐标如下：

，

因此，，，

设平面的法向量为，平面的法向量为，

由，即，可取.

由，即，可取，

于是.

由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角的平面角的余弦值为.