题目内容
12．已知函数f（x）=2-$\frac{2}{x}$．（1）判断函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性并用定义证明；
（2）求函数f（x）在区间[-3，-1]上的最值．
分析 （1）由条件利用函数的单调性的定义证得函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递增．
（2）由（1）可得函数f（x）在区间[-3，-1]上单调递增，由此求得f（x）在区间[-3，-1]上的最值．
解答 解：（1）证明：对于函数f（x）=2-$\frac{2}{x}$，令x1＜x2＜0，
由于f（x1）-f（x2）=-$\frac{2}{{x}_{1}}$+$\frac{2}{{x}_{2}}$=$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{x}_{1}{•x}_{2}}$，
而由题设可得x1•x2＞0，x1-x2＜0，∴$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{x}_{1}{•x}_{2}}$＜0，即f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递增．
（2）由（1）可得函数f（x）在区间[-3，-1]上单调递增，
故当x=-3时，f（x）取得最小值为2+$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{3}$，当x=-1时，f（x）取得最大值为2+2=4．
点评 本题主要考查函数的单调性的定义，利用函数的单调性求函数的最值，属于基础题．
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