题目内容
已知函数
(I)求证
(II)若
取值范围.

(I)求证

(II)若


(I)见解析(II)

(I)解法一要证
令
,则
,
可得
在
[0,1]上为增函数,
故
。
要证
,也就是证
,即证
,也就是证
令
,则

可得
在[0,1]上为增函数,
故
综上可得
(I)解法二要证
,也就是证
令
,令
,
即
为增函数,
,可得
在 [0,1]上为增函数,

故
;
要证
,也就是证
,即证
,令
,
,可得
即
,从而得
,故
综上可得
(II)

,


,


,从而
所以,
下面注明,
=
,令
则




于是
,
此时

综上
第一问中的解法一采取对已知函数进行分离整理,使得函数的结构变得简单对称,求得导函数也就变得简单了,但是在解题过程中很难想到。解法二是直接移项构造函数,比较容易想到,但是求出导函数后又变得无从下手,这时候需要二次求导分析来解决。两种解法各有特点。
第二问主要是在第一问的基础上利用不等式进行适当的放缩,转化为另一个函数进行分析解答。
【考点定位】本题考查函数与导数,导数与不等式的综合应用。

令





[0,1]上为增函数,


要证




令







综上可得

(I)解法二要证


令










故

要证











综上可得

(II)












所以,

下面注明,









于是


此时


综上

第一问中的解法一采取对已知函数进行分离整理,使得函数的结构变得简单对称,求得导函数也就变得简单了,但是在解题过程中很难想到。解法二是直接移项构造函数,比较容易想到,但是求出导函数后又变得无从下手,这时候需要二次求导分析来解决。两种解法各有特点。
第二问主要是在第一问的基础上利用不等式进行适当的放缩,转化为另一个函数进行分析解答。
【考点定位】本题考查函数与导数,导数与不等式的综合应用。

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