题目内容

已知函数
(I)求证 
(II)若取值范围.
(I)见解析(II)
(I)解法一要证
,则可得
[0,1]上为增函数,
要证,也就是证,即证,也就是证
,则可得在[0,1]上为增函数,

综上可得
(I)解法二要证,也就是证
,令
为增函数,
,可得在 [0,1]上为增函数,

要证,也就是证,即证,令
,可得
,从而得,故
综上可得
(II)



,从而
所以,
下面注明,
=
,令

于是
此时
综上
第一问中的解法一采取对已知函数进行分离整理,使得函数的结构变得简单对称,求得导函数也就变得简单了,但是在解题过程中很难想到。解法二是直接移项构造函数,比较容易想到,但是求出导函数后又变得无从下手,这时候需要二次求导分析来解决。两种解法各有特点。
第二问主要是在第一问的基础上利用不等式进行适当的放缩,转化为另一个函数进行分析解答。
【考点定位】本题考查函数与导数,导数与不等式的综合应用。
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