题目内容
【题目】有限个元素组成的集合为,
,集合
中的元素个数记为
,定义
,集合
的个数记为
,当
,称集合
具有性质
.
(1)设集合具有性质
,判断集合
中的三个元素是否能组成等差数列,请说明理由;
(2) 设正数列的前
项和为
,满足
,其中
,数列
中的前
项:
组成的集合
记作
,将集合
中的所有元素
从小到大排序,即
满足
,求
;
(3) 己知集合,其中数列
是等比数列,
,且公比是有理数,判断集合
是否具有性质
,说明理由.
【答案】(1)否,见解析;(2);(3)具有性质
,理由见解析
【解析】
(1)根据集合具有性质
,可以得到
、以及
的元素性质,运用反证法可以判断出集合
中的三个元素不能组成等差数列;
(2)根据递推公式求出数列的通项公式,根据题意写出集合
,根据题目中所给的定义,结合等比数列的性质求出
;
(3)只要能够证明当时,
不成立,运用反证法结合整除的知识,就可以判断出集合
具有性质
.
(1)集合中的三个元素不能组成等差数列,理由如下:
因为集合具有性质
,所以
,由题中所给的定义可知:
中的元素应是:
这6个元素应该互不相等,假设
中的三个元素能构成等差数列,不妨设
成等差数列,这时有
这与集合元素集合中的6个元素互不相等矛盾,其它二种情况也是一样,故
中的三个元素不能能构成等差数列;
(2),
得:
,说明数列从第二项起,数列
是等差数列,
因为,
,所以有
,所以
,显然
也成立,因此
.
所以
,显然
根据定义在之间增加的元素个数为:
,这样包括
在内前面一共有
个元素.
当时,包括
在内前面共有2016个,显然不到第2020个数,所以只有当
时,能找到
因此;
(3)集合具有性质
,理由如下:设等比数列
的公比为
,所以通项公式为:
,
为有理数.
设假设当时,
成立,则有
,
因为为有理数,所以设
且
互质,因此有
,
式子的左边是的倍数,右边是
的倍数,而
互质,显然
不成立,因此
集合中的元素个数为:
,因此它符合已知所下的定义,因此集合
是否具有性质
.
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