Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），点P在椭圆上，且满足|PF₁|=2|PF₂|，∠PF₁F₂=30°，直线y=kx+m与圆x2+y2=

6

5

相切，与椭圆相交于A，B两点．
（I）求椭圆的方程；
（II）证明∠AOB为定值（O为坐标原点）．

Answer 1

分析：（I）由题意，|PF₁|=2|PF₂|，∠PF₁F₂=30°，|F₁F₂|=2，解三角形得|PF1|=2|PF2|=

4 3

3

，由此能够导出椭圆的方程．
（II）设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=kx+m x2 3 + y2 2 =1

，消去得（2+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0，由韦达定理得x1+x2=

-6km

2+3k2

，x1•x2=

3m2-6

2+3k2

，又直线y=kx+m与圆x2+y2=

6

5

相切，则有

|m|

1+k2

=

6 5

⇒5m2=6+6k2，由此能够求出∠AOB=90°为定值．

解答：解：（I）由题意，|PF₁|=2|PF₂|，∠PF₁F₂=30°，|F₁F₂|=2，
解三角形得|PF1|=2|PF2|=

4 3

3

，由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=2

3

，
从而a=

3

，又c=1，则b=

2

，所以椭圆的方程为

x2

3

+

y2

2

=1（6分）
（II）设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=kx+m x2 3 + y2 2 =1

消去得（2+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0
由韦达定理得x1+x2=

-6km

2+3k2

，x1•x2=

3m2-6

2+3k2

（9分）
又直线y=kx+m与圆x2+y2=

6

5

相切，∴圆心到直线的距离=R，
∴有

|m|

1+k2

=

6 5

⇒5m2=6+6k2（11分）
从而x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=(k2+1)

3m2-6

2+3k2

+km

-6km

2+3k2

+m2=

m2(5m2-6k2-6)

2+3k2

=0（12分）•
所以

OA

•

OB

=0，即∠AOB=90°为定值．（13分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．